SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có 01 trang)


Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
với
.
b) Tính giá trị biểu thức
biết:

,
.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
.
b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết: M = n.4n + 3n chia hết cho 7.
b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn: (x2 + 4y2 + 28)2
17(x4 + y4) = 238y2 + 833.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là điểm di chuyển trên đường tròn (O) (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B.
a) Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.
b) Đường thẳng MH cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và F). Gọi I là trung điểm của HC, đường thẳng AI cắt (O) tại G (G khác A). Chứng minh: AF2 + FG2 + GE2 + EA2 = 2BC2.
c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên AB. Tìm vị trí của điểm A sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh:....................................................................Số báo danh:........................................
Chữ kí của giám thị 1: .................................................Chữ kí của giám thị 2: ....................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
(Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang)

Nếu học sinh có cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1
a
Rút gọn biểu thức:
với
.
1,00





0,25




.
0,25



+) Với
thì
nên A =
.
0,25



+) Với
thì

nên A =
.
0,25

1
b
Tính giá trị biểu thức:
biết:

,
.
1,00



Ta có:


(1).
0,25



Tương tự:
(2).
0,25



 Trừ vế với vế (1) và (2) ta được:

0,25




(x - y)3 + 3(x - y)(xy + 1) =
Vậy P =

0,25

2
a
Giải phương trình:
(1)
1,00



 +) ĐK:

PT (1)
(x2 - 3x + 3) + 3(x + 1) =
(2)
0,25



Do x2 - 3x + 3 > 0 nên (2)


Đặt
được PT: 1 + 3t2 = 4t
3t2 - 4t + 1 = 0

0,25



+) Với t = 1 được PT:

0,25



+) Với t =
được PT:

0,25

2
b
Giải hệ phương trình:

1,00



Ta có:

(Do
với mọi y)


0,25







0,25



Do
và
nên (3) vô nghiệm.
0,25



Thay y = - x - 1 vào (2) tìm được nghiệm

Với x = 1
y = -2; x =
. Vậy hệ có nghiệm (1;-2),
.
0,25

3
a
Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết: M = n.4n + 3n chia hết cho 7.
1,00



+) n = 2k (k nguyên dương): M = 2k.42k + 32k = 2k.